問題
連続関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ であって、次の条件を満たすものを特徴づけてください。
$$ f \left ( \frac { x + y } { 2 } \right ) = \frac { f(x) + f(y) } { 2 } \ (x, y \in \mathbb{R}) $$
答え
答えは一次以下の多項式関数、つまり $f(x) = a x + b \ ( a, b \in \mathbb{R})$ で書ける関数です。
証明
項数 $3$ の等差数列は $f$ により等差数列に写ります。従って数学的帰納法により任意の（有限項の、従って無限項のでも）等差数列は $f$ により等差数列に移ります。（∵$n$ 項の数列を $n - 1$ 項の prefix と $3$ 項の suffix で覆えばよいです。）従って $f((1 - t)a + tb) = (1 - t)f(a) + tf(b) \ (a, b \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{Q})$ が成り立つので、$f$ は $\mathbb{Q}$ 上で一次以下のの多項式関数です。
さらに $f$ が連続であることから、$f$ は $\mathbb{R}$ 上でも一次以下のの多項式関数であることがわかります。
