$\newcommand \dist { \mathrm{dist} }$$n$ を自然数として $[n] = \{ 0, \dots, n - 1 \}$ の置換全体の集合を $\mathcal{S} _ n$ と表します。置換 $σ ∈ \mathcal{S} _ n$ の転倒数を $ι(σ)$ で表します。
置換 $σ, τ \in \mathcal{S} _ n$ の間の距離 $\dist$ を $$\dist(σ, τ) = ι(στ^{-1}) = ι(τσ^{-1})$$ で定めます。これは $(σ(x) < σ(y)) \neq (τ(x) < τ(y))$ を満たす非順序対 $\displaystyle \lbrace x, y \rbrace \in \binom { [n] } { 2 }$ の個数に等しいです。また $ι(σ) + ι(τ)$ に偶奇が等しいこともわかりますね。
主張 1：距離の公理
$\dist$ は距離の公理を満たします。
証明 $\dist$ が非退化で対称な非負値関数であるのはあきらかなので、あとは三角不等式を示せばよいです。$σ, τ, π ∈ \mathcal{S} _ n$ とすると、$(σ(x) < σ(y)) \neq (π(x) < π(y))$ なる $\displaystyle \lbrace x, y \rbrace \in \binom { [n] } { 2 }$ に対しては必ず $(σ(x) < σ(y)) \neq (τ(x) < τ(y))$ か $(τ(x) < τ(y)) \neq (π(x) < π(y))$ のちょうど一方を満たすため、$\dist(σ, π) ≤ \dist (σ, τ) + \dist ( τ, π)$ が成り立ちます。
主張 2：置換同士の転倒距離に関する三角形の周長の上界
任意の $σ _ 0, σ _ 1, σ _ 2 ∈ \mathcal{S} _ n$ に対し、$\dist ( σ _ 0, σ _ 1 )+\dist ( σ _ 1, σ _ 2 )+\dist (σ _ 2, σ _ 0 ) ≤ n ( n - 1 )$ が成り立ちます。
証明 各 $\displaystyle \lbrace x, y \rbrace \in \binom { [n] } { 2 }$ に対して、$(σ _ i(x) < σ _ i(y)) \neq (σ _ { i + 1}(x) < σ _ { i + 1 }(y))$（ただし添字はサイクリック）を満たす $i ∈ \{ 0, 1, 2 \}$ の個数は $0$ または $2$ なので、それを足し合わせて結果を得ます。
