お財布の中にお金って、何枚あるものなのでしょうかね。
というわけで！ 日本円、米ドル、ユーロについて、金額を表すときの最小枚数を、最高額面未満の金額について平均を取ってみましょう。
記法
$1 = a_1 < a_2 < \dots < a_k$ 貨幣を用いて金額を表すときの最小枚数を、$n$ 未満の金額について平均を取った値を $E(n; a_1, \dots a_k)$ と表しましょう。
また答えを $E$ で表しましょう。
各通貨
日本円
流通しているのは 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000 円ですね。
10 冪円は平均 2 枚、5 × 10 冪円は平均 0.5 枚ですから、全体で平均 10 枚です。
先ほど定義した記号を用いると
$$ \begin{align} E &= 4 E(5; 1) + 4 E(2; 1) \\ &= 4 \cdot 2 + 4 \cdot 0.5 \\ &= 10 \end{align} $$
です。
米ドル
流通しているのは 1, 5, 10, 25¢ と 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100\$ ですね。
まず 1, 5¢, 1, 10, 100\$ で区切れるので
$$ E = E(5; 1) + E(20; 1, 2, 5) + 2 E(10; 1, 2, 5) $$
となります。
$E(5, 1) = 2$ は易しいですね。$E(10; 1, 2, 5)$ についても、実は上から貪欲で良い（理由: $5$ を敢えて控えても $2 + 2 + 2$ ができてこれは損）ので、それぞれの貨幣を使う枚数の平均に分解して
$$ \begin{align} E(10; 1, 2, 5) &= 0.4 + 0.8 + 0.5 \\ &= 1.7 \end{align} $$
さらに $E(20; 1, 2, 5)$ は、$10$ 以上のときだけ $2$ 枚増えるので
$$ E(20; 1, 2, 5) = E(10; 1, 2, 5) + 1 = 2.7 $$
以上より
$$ \begin{align} E &= E(5; 1) + E(20; 1, 2, 5) + 2 E(10; 1, 2, 5) \\ &= 2 + 2.7 + 2 \cdot 1.7 \\ &= 8.1 \end{align} $$
ユーロ
流通しているのは 1, 2, 5, 10, 20, 50¢ と 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200£ ですね。あらキレイ。
$$ \begin{align} E &= 4E(10, 1, 2, 5) + E(2, 1)\\ &= 4 \cdot 1.7 + 0.5 \\ &= 7.3 \end{align} $$
感想
アメリカドルの 25¢ 硬貨ヤバと思っていたのですが、5¢（と 50¢）で切ると $E(10; 1, 2, 5)$ の構造が出るのですね。
あと日本円の 1 円、5 円でさえ細かい気がしているのに、最高貨幣の 2 万分の 1 まであるユーロなんでやねんになっております。
